ОБ АСИМПТОТИКЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ СТЕПЕНИ СЛУЧАЙНОЙ МАТРИЦЫ

Мы рассматриваем степени случайных матриц с независимыми элементами. Пусть Xij,i,j≥1, -- независимые случайные величины (возможно комплексные) с EXij=0 и E"Xij"2=1. Пусть X означает n×n матрицу с [X]ij=Xij для 1≤i,j≤n. Обозначим через s(m)1≥…≥s(m)n сингулярные числа матрицы W:=n−m2Xm и определим эмпирическую функцию распределения квадратов сингулярных чисел формулой
F(m)X(x)=1n∑k=1nI{(s(m)k)2≤x},
где I{B} означает индикатор события B. Мы доказываем, что при условии Линдеберга для распределений элементов матрицы математическое ожидание эмпирической функции распределения квадратов сингулярных чисел F(m)X(x)=EF(m)X(x) сходится к к функции распределения G(m)(x), определенной своими моментами
αk(m):=∫RxkdG(m)(x)=1mk 1(km kk).
Приводится доказательство с помощью преобразования Стилтьеса. Библ. -- 8 назв.