ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА Б. Б. ВЕНКОВА И ВЗВЕШЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛУДИЗАЙНЫ

Б.Б. Венков на лекциях в университете Бордо в 1996 г. рассмотрел m векторов, произвольным образом расположенных на единичной сфере n-мерного евклидова пространства. Он ввёл t-потенциал системы векторов, равный сумме всевозможных скалярных произведений, где скалярные произведения возведены в чётную степень t. В работе Б.Б. Венкова показано, что t-потенциал ограничен снизу некоторой константой с, зависящей от n, m, t, но не зависящей от расположения точек на сфере. Целью работы является обобщение неравенства Б.Б. Венкова на случай t-потенциала, в котором присутствуют произвольные веса. Неотрицательность весов не предполагается. Единственное ограничение, которое накладывается на веса, заключается в том, что их сумма должна быть равна 1. В работе вводится понятие взвешенного сферического t-полудизайна и доказывается, что обобщённое неравенство для t-потенциала обращается в равенство на t-полудизайнах и только на них. Этот результат является новым.