ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ. ДИСКРЕТНЫЕ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Исследована точность аппроксимации распределения квадратичных форм от слабо зависимых величин распределением некоторого подходящего полинома второго порядка от гауссовских величин. В частности, получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для квадратичных форм и, как применение общих результатов, оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для оценок спектральной плотности типа Гренандера- Розенблатта. Получены оценки порядка O((An/N)1/4), где AN "ширина спектрального окна" оценки, а N число наблюдений. В случае квадратичных форм от независимых величин уточнена зависимость оценки скорости сходимости в предельных теоремах от собственных чисел матрицы квадратичной формы и от моментов случайных величин.

Исследован ряд изопериметрических задач и связанной с ними свойство концентрации для непрерывных и дискретных продакт- мер. Показано, что гауссовское изопериметрическое неравенство может быть получено как следствие изопериметрического неравенства для симметричного распределения Бернулли. Доказано изопериметрическое неравенство для распределения Пуассона.

Для продакт-мер в метрических пространствах с расстоянием евклидова типа доказана независимость в существенном изопериметрических констант от размерности. Исследована связь изопериметрических констант с неравенствами типа Пуанкаре и многомерными неравенствами типа Хинчина-Кахана. Уточнены некоторые результаты о концентрации меры и о распределении гладких функционалов на вероятностных метрических пространствах, подчиняющихся неравенствам типа Пуанкаре и логарифмическим неравенствам типа Соболева. Описаны продакт-меры в евклидовом пространстве, удовлетворяющие неравенствам типа Пуанкаре в классе выпуклых функционалов. Найдена характеризация вероятностных мер на прямой, удовлетворяющих логарифмическим неравенствам типа Соболева.