ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ. ДИСКРЕТНЫЕ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Исследована точность аппроксимации распределений квадратичных форм от независимых одинаково распределенных случайных величин и стационарно связанных случайных величин, удовлетворяющих условиям абсолютной регулярности и равномерно сильного перемешивания, распределением некоторого подходящего полинома второго порядка от гауссовских величин. В частности, получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для квадратичных форм и, как применение общих результатов, оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для оценок спектральной плотности типа Гренандера-Розенблатта. Получены оценки порядка O((AN/N)1/4), где AN "ширина спектрального окна" оценки, а N число наблюдений. В случае квадратичных форм от независимых величин уточнена зависимость оценки скорости сходимости в предельных теоремах от собственных чисел матрицы квадратичной формы и от моментов случайных величин, получены оптимальные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме. В качестве приложений основных результатов рассмотрены задачи оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для квадратичных форм с теплицевыми матрицами, со случайными матрицами; для оценок параметров в моделях авторегрессии, для квадратичных форм от процессов скользящего среднего, для тестов согласия, построенных по спейсингам. Получены первые результаты по асимптотическим разложениям распределений квадратичных форм в предположении конечности четвертого момента у случайных величин. Исследован ряд изопериметрических задач и связанное с ними свойство концентрации для непрерывных и дискретных продакт-мер. Показано, что гауссовское изопериметрическое неравенство может быть получено как следствие изопериметрического неравенства для симметричного распределения Бернулли. Доказано изопериметрическое неравенство для распределения Пуассона. Для продакт-мер в метрических пространствах с расстоянием евклидова типа доказана независимость в существенном изопериметрических констант от размерности. Исследована связь изопериметрических констант с неравенствами типа Пуанкаре и многомерными неравенствами типа Хинчина-Кахана. Уточнены некоторые результаты о концентрации меры и о распределении гладких функционалов на вероятностных метрических пространствах, подчиняющихся неравенствам типа Пуанкаре и логарифмическим неравенствам типа Соболева. Описаны продакт-меры в евклидовом пространстве, удовлетворяющие неравенствам типа Пуанкаре в классе выпуклых функционалов. Найдена характеризация вероятностных мер на прямой, удовлетворяющих логарифмическим неравенствам типа Соболева. Получены новые неравенства типа Соболева для распределения Бернулли, которые позволяют перейти к пуассоновскому пределу. Как следствия, получены неравенства для концентраций мер Пуассона. Получено представление Бахадура эмпирической функции распределения для ассоциированной сторого стационарной последовательности. Оно используется для доказательства асимптотической нормальности выборочной квантили, функциональной центральной предельной теоремы и функционального закона повторного логарифма для выборочной квантили.